El Cubo Soma Diseño, Arte y Matematicas

Existen diseños que han hecho uso de este puzzle tridimensional. Por ejemplo, en la siguiente imagen podemos apreciar el diseño de una mesa de salón del divulgador de las matemáticas norteamericano Michael Serra basado en las piezas del “cubo soma”. Cinco de las piezas (todas, salvo las piezas L y Z) conforman la parte de apoyo de la mesa, sobre la que se sitúa la parte plana, en este caso el cristal, y las otras dos piezas del puzzle quedan de acompañamiento, ya sea como sencillos asientos, como mesitas auxiliares o simplemente como complementos decorativos.

Diseño de una mesa utilizando las piezas del “cubo soma”, por Michael Serra

Maqueta de la colocación de las piezas del “cubo soma” en el diseño anterior, realizado con pequeñas piezas de madera del juego

El proyecto “Polyomino” presentado en el Festival del Diseño de Londres (London Design Festival) el pasado mes de septiembre (2014), como fruto de una colaboración entre el diseñador de complementos inglés Ally Capellino y el arquitecto inglés Seng Watson, también ha encontrado la inspiración y la forma en este puzzle geométrico cuyas siete piezas están formadas por la unión de cubos.

Ally Capellino le encargó a Seng Watson la realización de una serie de “stands” para colocar, durante el London Design Festival, sus bolsos y otros complementos en las tiendas que Capellino tiene en Londres. Una de las inspiraciones del proyecto “Polyomino” fue la arquitectura “brutalista” londinense de los años 1960, en la que está también inspirada la colección otoño/invierno 2014 de Capellino. El arquitecto decidió realizar los “stands” con las piezas del “cubo soma”, a partir de cubos de 27.250 mm3 de “papercrete” (hormigón de papel), una mezcla de cemento y papel, que hace que las piezas del diseño tengan el aspecto crudo del hormigón, pero sean a la vez ligeras y manejables.

Las siete piezas del proyecto “Polyomino” realizadas en hormigón de papel

“Stands” del proyecto “Polyomino” con bolsos y complementos en una de las tiendas de Ally Capellino en Londres

Curiosamente, el nombre del proyecto, “Polyomino”, es confuso, puesto que las piezas del “cubo soma” no son poliominós (es decir, figuras geométricas planas formadas conectando dos o más cuadrados por alguno de sus lados), sino que son policubos (esto es, figuras geométricas tridimensionales que se forman al unir dos o más cubos por alguna de sus caras). Solo cuatro de las piezas del “cubo soma” podrían ser consideradas poliominós, puesto que son las cuatro piezas “planas” del puzzle, aquellas que pueden colocarse para que tengan solo la altura de un cubo, y no más altura, como ocurre en las otras tres piezas (véanse las piezas del “cubo soma” de la siguiente imagen).

Pero dejemos de lado, los diseños basados en el “cubo soma”, y centrémonos en el propio puzzle geométrico tridimensional. Como ya comentábamos en la entrada “Un delicioso puzzle de chocolate” del Cuaderno de Cultura Científica, el “cubo soma” es un juego de ingenio relativamente moderno, que fue inventado en 1933 por el poeta, matemático, diseñador e inventor danés Piet Hein (1905-1996).

Fue durante una conferencia sobre mecánica cuántica del premio Nobel de Física, Werner Heisenberg (1901-1976), cuando Piet Hein se dio cuenta de que con todos los policubos irregulares formados por 4, o menos, cubos (matemáticamente que sean irregulares quiere decir que cada uno de esos policubos es no convexo, es decir, que dados dos puntos cualesquiera del mismo no es cierto que todos los puntos que están en el segmento que los une estén también en el policubo, por tanto hay que descartar los regulares, que son o una serie de cubos alineados, uno, dos o tres, o un “cuadrado” formado por cuatro cubos), que son siete, se podía formar un cubo 3x3x3.

Las piezas del “cubo soma”

Las siete piezas del juego de ingenio que Piet Hein bautizó con el nombre de “cubo soma” son un policubo formado por tres cubos (con la forma de una L “corta”) y seis policubos formados por cuatro cubos (una esquina o trípode, una L “larga”, una T, una Z y otras dos piezas que son una la imagen especular de la otra).

Este puzzle geométrico, que consiste en formar un cubo de tamaño 3x3x3 con los siete policubos irregulares, admite 240 soluciones distintas. Y fueron los matemáticos ingleses John H. Conway y Richard K. Guy quienes obtuvieron la lista completa de las 240 soluciones, “en una tarde lluviosa de 1961”.

A continuación, mostraremos el estudio que realizaron los dos matemáticos, y que aparece en el libro Winning ways for your mathematical plays de Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway y Richard K. Guy, sobre las posibles posiciones de cada una de las siete piezas del “cubo soma” dentro del cubo final de tamaño 3x3x3 y que les permitió conocer que hay 240 soluciones posibles, y obtenerlas explícitamente.

Para empezar, como vemos en la siguiente imagen, asocian cada pieza del puzzle a un número y un color, para poder identificarlas.

La pieza L “corta” es blanca y su número es el 1, la L es amarilla y el 2, la pieza T es verde y tiene el 3, la Z debería de ser naranja, aunque nosotros a falta de cubos naranjas la hemos fabricado multicolor, y su número es el 4, la pieza azul tiene el 5 y su imagen especular es roja con el número 6, y finalmente, la pieza esquina es negra y su número es el 7

Si observamos el cubo de tamaño 3x3x3 que es el objeto final de este rompecabezas, este tiene 8 cubos vértice (que aparecen en rojo en la siguiente imagen), 12 cubos laterales (en verde), 6 cubos cara (en blanco) y un cubo central (que no se ve, ya que está en el interior).

Pero dejemos ya esta parte matemática del puzzle de Piet Hein, relacionada con la combinatoria (el cálculo del número de soluciones del juego), y terminemos la entrada con un par de ejemplos de la presencia del “cubo soma” en el arte.

La primera obra de arte (que aparece en la siguiente imagen) es la obra “Letter From the New World to theOld World” de la artista danesa Simon Dybbroe Møller.

“Letter From the New World to the Old World”, Simon Dybbroe Møller

El artista estadounidense Arnold Martin ha utilizado el puzzle geométrico en su obra “Anatomy of a Cube or This is Not a Stack of Crates”, de su instalación IN-KOM-PRI-HEN-SUH-BUHL.

“Anatomy of a Cube or This is Not a Stack of Crates”, Arnold Martin